Eine Anwendung der Hyperbel-Funktion
am Beispiel der Schallortung
am Beispiel der Schallortung
Stand: 28.07.2011
Die Gleichung für die Hyperbeln H1 und H2 des Beispiels
Grundsätzlich kann das Ortungsproblem auch gelöst werden, indem man die Mittelpunktsgleichungen für die beiden Hyperbeln aufstellt und dann nach einem Schnittpunkt sucht.
Grundsätzlich kann das Ortungsproblem auch gelöst werden, indem man die Mittelpunktsgleichungen für die beiden Hyperbeln aufstellt und dann nach einem Schnittpunkt sucht.
Aufstellen der Mittelpunktsgleichung für Hyperbel H1
Hier wird gezeigt, wie man die Mittelpunktsgleichung findet, wenn die Hyperbelachse die x-Achse in einem beliebigen Winkel schneidet:
Um eine Hyperbel auf der Verbindungslinie zwischen der Leitstelle A und dem Beobachtungsort F1 oder F2 in das selbe Koordinatensystem einzutragen, in dem die Hyperbel auf der Verbindungslinie zwischen den Orten F1 und F2 eingezeichnet ist, muss eine Transformation vorgenommen werden.
Die Koordinaten eines Punktes A sollen in die Koordinaten des Punktes A' umgerechnet werden, der sich in dem Koordinatensystem System K' befindet, das um den Winkel a gedreht wurde. Um die Gleichungen der Koordinatenttransformation zu veranschaulichen diene folgende Skizzen:
Um eine Hyperbel auf der Verbindungslinie zwischen der Leitstelle A und dem Beobachtungsort F1 oder F2 in das selbe Koordinatensystem einzutragen, in dem die Hyperbel auf der Verbindungslinie zwischen den Orten F1 und F2 eingezeichnet ist, muss eine Transformation vorgenommen werden.
Die Koordinaten eines Punktes A sollen in die Koordinaten des Punktes A' umgerechnet werden, der sich in dem Koordinatensystem System K' befindet, das um den Winkel a gedreht wurde. Um die Gleichungen der Koordinatenttransformation zu veranschaulichen diene folgende Skizzen:
Aufstellen der Mittelpunktsgleichung für Hyperbel H2
Anwendung der Transformation auf das Beispiel
Es soll nun die Gleichung der Hyperbel aus dem obigen Beispiel für das Koordinatensystem K ermittelt werden. Die Hyperbelachse hat laut Skizze einen Anstieg von 90-(19,72+12,97) = 57.31 Grad - d.h. das Koordinatensystem K' ist um diesen Winkel gegenüber dem Koordinatensystem K gedreht.
Es soll nun die Gleichung der Hyperbel aus dem obigen Beispiel für das Koordinatensystem K ermittelt werden. Die Hyperbelachse hat laut Skizze einen Anstieg von 90-(19,72+12,97) = 57.31 Grad - d.h. das Koordinatensystem K' ist um diesen Winkel gegenüber dem Koordinatensystem K gedreht.
Damit ist es möglich die Mittelpunktgleichung aufzustellen.
Plotten mit Mathematica
Gemeinsamer Punkt der beiden Hyperbeln
Zuerst werden beide Hyperbelgleichung nach y aufgelöst:
Zuerst werden beide Hyperbelgleichung nach y aufgelöst:
