Eine Anwendung der Hyperbel-Funktion
am Beispiel der Schallortung
am Beispiel der Schallortung
Lösungsprinzip
Die folgende Lösung basiert auf dem Ansatz, dass jeweils 2 Mikrophone in den Brennpunkten zweier Hyperbeln stehen, auf deren jeweils einem Ast die Schallquelle Q steht. Der Schnittpunkt der beiden Hyperbeläste entspricht den Koordinaten der Schallquelle. Diese Überlegung beruht auf einer Definition der Hyperbel, wonach die Hyperbel der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene ist, für die die Differenz der Abstände von 2 festen Punkten konstant ist. D.h. die gemessene Zeitdifferenz gilt für alle Punkte auf jeweils einem Hyperbelast der Hyperbel, deren Scheitelpunkte auf der Messtrecke und im Abstand der gemessenen Zeitdifferenz liegen.
Die folgende Skizze soll diesen Ansatz darlegen.
Der Ursprung eines rechtwinkeligen Koordinatensystems wird in die Mitte der Strecke F1 nach F2 gelegt. Die Koordinaten der Leitstelle A werden aus der Karte abgelesen bzw. berechnet, so dass im Folgende xa und ya als bekannt vorausgesetzt werden. Die Koordinaten der beiden Orte F1 und F2 entsprechen für ihr x betragsmäßig dem halben Abstand untereinander.
Zu jeder der beiden Hyperbeln H1 und H2 gehören die Parameter a und e. Der e-Parameter entspricht dem jeweiligen halben Abstand der Messorte und der a-Parameter entspricht dem jeweiligen halben Abstand, der sich aus der gemessenen Laufzeitdifferenz ergibt. (Die Größe 2e wird von der Karte abgelesen.)
Die Schallquelle Q befinde sich zum Beispiel auf dem rechten Hyperbelast einer Hyperbel, deren Parameter 2a = Schallgeschwindigkeit (c) x Laufzeitdifferenz beträgt.Zum Zeitpunkt t1 erreicht der Schall den Ort F2 [ = ( r2)/c]
Zum Zeitpunkt t2 erreicht der Schall den Ort F1 [ = (r1)/c]
Zum Zeitpunkt t3 erreicht der Schall den Ort A [ = (r3)/c]
Bekannt ist dann die Strecke 2a1 = (r1 - r2) = c(t2 - t1) d.h. die Strecke S1-S2
und die Strecke 2a2 = (r3 - r2) = c(t3 - t1) d.h. die Strecke S3-S4.
Die folgende Lösung basiert auf dem Ansatz, dass jeweils 2 Mikrophone in den Brennpunkten zweier Hyperbeln stehen, auf deren jeweils einem Ast die Schallquelle Q steht. Der Schnittpunkt der beiden Hyperbeläste entspricht den Koordinaten der Schallquelle. Diese Überlegung beruht auf einer Definition der Hyperbel, wonach die Hyperbel der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene ist, für die die Differenz der Abstände von 2 festen Punkten konstant ist. D.h. die gemessene Zeitdifferenz gilt für alle Punkte auf jeweils einem Hyperbelast der Hyperbel, deren Scheitelpunkte auf der Messtrecke und im Abstand der gemessenen Zeitdifferenz liegen.
Die folgende Skizze soll diesen Ansatz darlegen.
Der Ursprung eines rechtwinkeligen Koordinatensystems wird in die Mitte der Strecke F1 nach F2 gelegt. Die Koordinaten der Leitstelle A werden aus der Karte abgelesen bzw. berechnet, so dass im Folgende xa und ya als bekannt vorausgesetzt werden. Die Koordinaten der beiden Orte F1 und F2 entsprechen für ihr x betragsmäßig dem halben Abstand untereinander.
Zu jeder der beiden Hyperbeln H1 und H2 gehören die Parameter a und e. Der e-Parameter entspricht dem jeweiligen halben Abstand der Messorte und der a-Parameter entspricht dem jeweiligen halben Abstand, der sich aus der gemessenen Laufzeitdifferenz ergibt. (Die Größe 2e wird von der Karte abgelesen.)
Die Schallquelle Q befinde sich zum Beispiel auf dem rechten Hyperbelast einer Hyperbel, deren Parameter 2a = Schallgeschwindigkeit (c) x Laufzeitdifferenz beträgt.Zum Zeitpunkt t1 erreicht der Schall den Ort F2 [ = ( r2)/c]
Zum Zeitpunkt t2 erreicht der Schall den Ort F1 [ = (r1)/c]
Zum Zeitpunkt t3 erreicht der Schall den Ort A [ = (r3)/c]
Bekannt ist dann die Strecke 2a1 = (r1 - r2) = c(t2 - t1) d.h. die Strecke S1-S2
und die Strecke 2a2 = (r3 - r2) = c(t3 - t1) d.h. die Strecke S3-S4.
Stand: 28.07.2011
